Simulado de Matemática e suas Tecnologias

Explicação: Aplicando a fórmula do volume: V = (4/3) · 3,14 · 3³ = (4/3) · 3,14 · 27 = 4 · 3,14 · 9 = 36 · 3,14 = 113,04 cm³.

Explicação: A área total do círculo é A = π · r² = 3,14 · 6² = 3,14 · 36 = 113,04 cm². Como o ângulo central é de 60°, a área do setor corresponde a 60°/360° = 1/6 da área total. Portanto, A_setor = 113,04 / 6 = 18,84 cm².

Explicação: O volume de um cilindro reto é dado por V = π · r² · h. Substituindo os valores: V = 3,14 · 2² · 3 = 3,14 · 4 · 3 = 37,68 m³. Como 1 m³ equivale a 1.000 litros, a capacidade total é de 37,68 · 1.000 = 37.680 litros.

Explicação: A área do primeiro muro é 30 · 2 = 60 m², consumindo 3 latas (rendimento de 20 m² por lata). O segundo muro possui área de 40 · 3 = 120 m². Para cobrir 120 m², serão necessárias 120 / 20 = 6 latas de tinta.

Explicação: Pelo Teorema de Pitágoras: a² + b² = c² ⇒ 6² + b² = 10² ⇒ 36 + b² = 100 ⇒ b² = 64 ⇒ b = 8 cm. A área do triângulo retângulo é dada pelo produto dos catetos dividido por 2: A = (6 · 8) / 2 = 24 cm².

Explicação: A altura máxima ocorre no vértice da parábola. O tempo no vértice é t_v = -b / (2a) = -40 / (2 · (-5)) = 4 segundos. A altura máxima é h(4) = -5(4)² + 40(4) = -5(16) + 160 = -80 + 160 = 80 metros.

Explicação: Como a ordem dos membros na comissão não altera o grupo formado, utiliza-se a combinação simples: C(8, 3) = 8! / (3! · 5!) = (8 · 7 · 6) / (3 · 2 · 1) = 56 maneiras distintas.

Explicação: Regra de três composta: Máquinas, Horas e Peças. O número total de máquinas passa a ser 5 + 3 = 8. Produtividade por máquina por hora = 1.200 / (5 · 8) = 1.200 / 40 = 30 peças/máquina-hora. Com 8 máquinas funcionando por 6 horas: Produção = 8 · 6 · 30 = 48 · 30 = 1.440 peças.

Explicação: O total de pessoas que utilizam pelo menos um dos aplicativos é dado pela união: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 60 + 50 - 20 = 90. Como o total de pessoas pesquisadas é 100, o número de pessoas que não utilizam nenhum dos aplicativos é 100 - 90 = 10.

Explicação: A distância entre dois pontos é calculada por d = √[(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²]. Substituindo as coordenadas: d = √[(4 - 1)² + (6 - 2)²] = √[3² + 4²] = √[9 + 16] = √25 = 5 unidades.

Explicação: Há 36 pares ordenados possíveis. Os pares com números iguais (iguais faces) são: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) e (6,6), totalizando 6 casos favoráveis. A probabilidade é 6/36 = 1/6.

Explicação: Primeiro calcula-se a média: (4 + 6 + 8 + 10 + 12) / 5 = 40 / 5 = 8. Os desvios em relação à média são: (4 - 8) = -4; (6 - 8) = -2; (8 - 8) = 0; (10 - 8) = 2; (12 - 8) = 4. Elevando os desvios ao quadrado: 16, 4, 0, 4, 16. A média dos quadrados dos desvios (variância populacional) é: (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 5 = 40 / 5 = 8.

Explicação: O tempo de 15 horas corresponde a 15 / 3 = 5 períodos de duplicação. A população final é dada pela função exponencial P = 500 · 2⁵ = 500 · 32 = 16.000 bactérias.

Explicação: Pelo princípio da semelhança de triângulos e incidência dos raios solares paralelos: H / S = h / s ⇒ H / 4 = 1,5 / 0,6 ⇒ H / 4 = 2,5 ⇒ H = 4 · 2,5 = 10 metros.

Explicação: Na PG, a₅ = a₃ · q² ⇒ 48 = 12 · q² ⇒ q² = 4 ⇒ q = 2 (pois os termos são positivos). Como a₃ = a₁ · q², temos 12 = a₁ · 2² ⇒ 12 = 4a₁ ⇒ a₁ = 3.

Explicação: Quando dois sólidos geométricos são semelhantes com razão linear de semelhança k, a razão entre seus volumes é dada por k³. Se a razão das alturas é 1/2, a razão volumétrica é (1/2)³ = 1/8. Portanto, o volume do recipiente maior é 250 · 8 = 2.000 mL (ou 2 litros).

Explicação: No regime de juros compostos, M = C · (1 + i)ᵗ. Logo, M = 4.000 · (1 + 0,10)² = 4.000 · 1,21 = R$ 4.840,00. Os juros gerados correspondem à diferença M - C = 4.840 - 4.000 = R$ 840,00.

Explicação: O total de bolas é 12. As bolas que não são azuis correspondem às vermelhas e amarelas, totalizando 4 + 3 = 7 bolas. Portanto, a probabilidade é 7/12.

Explicação: Sendo x a largura, o comprimento é (x + 5). A área é x(x + 5) = 300 ⇒ x² + 5x - 300 = 0. Resolvendo por Bhaskara: Δ = 25 - 4(1)(-300) = 1225; √1225 = 35. Logo, x = (-5 + 35) / 2 = 15 m. O comprimento é 15 + 5 = 20 m. O perímetro é 2 · (15 + 20) = 2 · 35 = 70 metros.

Explicação: Para que o número seja par, o algarismo das unidades deve ser par: {2, 4, 6} (3 possibilidades). Para o primeiro algarismo (centenas), restam 5 algarismos disponíveis dos 6 iniciais. Para o algarismo das dezenas, restam 4 algarismos disponíveis. Pelo princípio fundamental da contagem: 5 · 4 · 3 = 60 números.

Explicação: A relação do valor pago é expressa pela função afim V(x) = 5,50 + 2,80x, onde x é a distância em quilômetros. Igualando a 47,50: 47,50 = 5,50 + 2,80x ⇒ 2,80x = 42,00 ⇒ x = 42 / 2,8 = 15 km.

Explicação: A forma canônica da função quadrática é f(x) = a(x - x_v)² + y_v. Substituindo o vértice (2, -9): f(x) = a(x - 2)² - 9. Sabendo que f(0) = -5: a(0 - 2)² - 9 = -5 ⇒ 4a - 9 = -5 ⇒ 4a = 4 ⇒ a = 1.

Explicação: A palavra ESCOLA possui 6 letras distintas. Fixando a letra E na primeira posição, restam 5 posições a serem preenchidas com as 5 letras restantes (S, C, O, L, A). O número de maneiras é dado por P₅ = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 anagramas.

Explicação: A equação fundamental da reta é y - y₀ = m(x - x₀). Substituindo o ponto (2, 3) e m = 4: y - 3 = 4(x - 2) ⇒ y - 3 = 4x - 8 ⇒ y = 4x - 5, que na forma geral é 4x - y - 5 = 0.

Explicação: Para percorrer 360 km com rendimento de 12 km/L, são necessários 360 / 12 = 30 litros de combustível. O custo total é 30 · 5,40 = R$ 162,00.

Explicação: No regime de juros simples, J = C · i · t. Assim, J = 6.000 · 0,015 · 8 = R$ 720,00. O montante final é M = C + J = 6.000 + 720 = R$ 6.720,00.

Explicação: O volume de uma pirâmide é calculado por V = (1/3) · A_base · h. Como a base é um quadrado de lado 6 cm, A_base = 6² = 36 cm². Portanto, V = (1/3) · 36 · 10 = 12 · 10 = 120 cm³.

Explicação: A área do círculo é A = π · r² ⇒ 50,24 = 3,14 · r² ⇒ r² = 16 ⇒ r = 4 cm. O comprimento da circunferência é dado por C = 2 · π · r = 2 · 3,14 · 4 = 25,12 cm.

Explicação: O volume total do paralelepípedo é V = 4 · 2,5 · 1,2 = 12 m³. Com 70% de preenchimento, o volume de água é 0,70 · 12 = 8,4 m³, o que corresponde a 8.400 litros.

Explicação: A média ponderada é calculada por [(6,0 · 1) + (7,0 · 2) + (8,0 · 3) + (9,0 · 4)] / (1 + 2 + 3 + 4) = (6 + 14 + 24 + 36) / 10 = 80 / 10 = 8,0.

Explicação: Fatorando 18 em números primos: 18 = 2 · 3². Utilizando as propriedades operatórias dos logaritmos: log 18 = log(2 · 3²) = log 2 + 2 · log 3 = 0,301 + 2 · (0,477) = 0,301 + 0,954 = 1,255.

Explicação: O conjunto possui n = 10 elementos e já está ordenado. Como o número de elementos é par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais (o 5º e o 6º termos). O 5º termo é 27 e o 6º termo é 29. Portanto, Mediana = (27 + 29) / 2 = 28 anos.

Explicação: O espaço amostral possui 6 · 6 = 36 pares ordenados possíveis. Os pares cuja soma é 7 são: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) e (6, 1), totalizando 6 casos favoráveis. A probabilidade é 6/36 = 1/6.

Explicação: A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por S_n = a₁(qⁿ - 1) / (q - 1). Para n = 4, a₁ = 5 e q = 3: S₄ = 5(3⁴ - 1) / (3 - 1) = 5(81 - 1) / 2 = 5(80) / 2 = 400 / 2 = 200.

Explicação: Com o aumento de 20%, o preço passou a ser 250 · 1,20 = R$ 300,00. Em seguida, com o desconto de 20% sobre R$ 300,00, o novo valor tornou-se 300 · 0,80 = R$ 240,00. Fator acumulado: 1,20 · 0,80 = 0,96; 250 · 0,96 = R$ 240,00.

Explicação: A soma de todas as 5 notas deve ser igual a 5 · 7,2 = 36,0. A soma das quatro primeiras notas conhecidas é 6,5 + 8,0 + 7,0 + 6,5 = 28,0. Logo, a quinta nota é dada por 36,0 - 28,0 = 8,0.

Explicação: Para determinar a escala numérica, calcula-se a razão entre a medida no desenho e a medida real, expressas na mesma unidade de medida. A altura real é de 48 m = 4.800 cm. A escala é 24 cm / 4.800 cm = 1 / 200, ou seja, 1 : 200.

Explicação: Em um triângulo retângulo, o seno do ângulo é a razão entre o cateto oposto (altura h) e a hipotenusa (distância percorrida d): sen 30° = h / 16 ⇒ 0,5 = h / 16 ⇒ h = 16 · 0,5 = 8 metros.

Explicação: Se o montante é 4 vezes o capital inicial, o juro produzido é J = M - C = 4C - C = 3C. Na fórmula de juros simples, J = C · i · t: 3C = C · i · 15 ⇒ 3 = 15i ⇒ i = 3 / 15 = 0,20 ao ano, ou seja, 20% a.a.

Explicação: A distância real é D = 6 cm · 50.000 = 300.000 cm. Convertendo para metros: 300.000 cm = 3.000 m. Convertendo para quilômetros: 3.000 m = 3 km.

Explicação: Cada partida envolve a escolha de 2 participantes dentre os 10, sem importar a ordem dos jogadores. Trata-se de uma combinação simples: C(10, 2) = (10 · 9) / 2 = 45 partidas.

Explicação: A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada por S_i = (n - 2) · 180°. Igualando a 1.080°: (n - 2) · 180 = 1.080 ⇒ n - 2 = 1.080 / 180 = 6 ⇒ n = 8 (um octógono).

Explicação: A taxa de desconto é a razão entre o desconto concedido e o valor original: 27 / 180 = 3 / 20 = 0,15, o que equivale a 15%.

Explicação: A PA tem primeiro termo a₁ = 3 e razão r = 4. O 15º termo é a₁₅ = a₁ + 14r = 3 + 14 · 4 = 3 + 56 = 59. A soma dos 15 primeiros termos é S₁₅ = [(a₁ + a₁₅) · n] / 2 = [(3 + 59) · 15] / 2 = (62 · 15) / 2 = 31 · 15 = 465.

Explicação: Primeiro determina-se a geratriz g pelo Teorema de Pitágoras: g² = r² + h² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 ⇒ g = 5 cm. A área lateral de um cone reto é dada por A_L = π · r · g = 3,14 · 3 · 5 = 3,14 · 15 = 47,1 cm².